Livres sur les sites d'Amazon / Книги на сайтах Amazon

Mathematiques

Le Professeur Grigori Tomski raconte ses activités mathématiques et annonce la création de la Géométrie élémentaire de la poursuite :

Petrosyan theorem

Petrosyan theorem about Apollonius circles told by author / Профессор Леон Петросян рассказывает о своей знаменитой теореме о параллельном сближении и окружностях Аполлония, приведшей к развитию Геометрии простого преследования и Элементарной геометрии преследования

Nouvelle extension de la géométrie classique

©  Grigori TOMSKI

On sait que la théorie des jeux a d’abord été l’étude des jeux de société. L’ensemble des propositions géométriques sur le JIPTO ( [1-2], www.jipto.com) et des autres jeux de poursuite présente une extension intéressante de la géométrie classique [3]. La découverte de l’existence d’un domaine de recherches mathématiques à la portée des élèves des lycées et des collèges à l’époque de la très grande professionnalisation des recherches mathématiques est inattendue et doit être intéressante pour tous les spécialistes de l’enseignement et de la vulgarisation des mathématiques.

Rappelons que les trois principaux postulats de la géométrie d’Euclide décrivant l’utilisation d’une règle et du compas idéaux:

1. De tout point à tout autre point, on peut tracer un segment de droite avec ces points comme extrémités.

2. Tout segment de droite peut être prolongé indéfiniment et continûment.

3. Etant donné un point, on peut décrire un cercle de rayon quelconque avec comme centre ce point.

Pour Euclide les segments et les cercles constituent ainsi des objets de base, il introduit ensuite et étudie des figures rectilignes contenues par des lignes brisées, composées des segments : triangles, quadrilatères et multilatères ; ainsi que des cercles tangents et qui se coupent.

Dans la géométrie de la poursuite, on étudie les trajectoires des «poursuivants» et des «fugitifs» qui sont des lignes brisées ou des enchaînement de plusieurs cercles tangents.

On définie en termes géométriques les stratégies ce qui constituent la particularité de la géométrie de la poursuite. Par exemple, les différentes stratégies du «poursuivant» P décrivent les règles de construction (avec une règle et un compas idéaux) de la trajectoire de P en fonction du déroulement de la construction de la trajectoire du «fugitif» (ou des «fugitifs» et, éventuellement, des autres «poursuivants», s’ils existent).

Ainsi dans la géométrie élémentaire de la poursuite, nous considérons les trajectoires qui sont, en fait, des objets de géométrie classiques : les lignes brisées, les enchaînements des cercles tangents, etc. Mais nous ajoutons aux transformations et relations de la géométrie classique (rotation, similitude, etc.) l’infinité des transformations et des relations, générées par les différentes stratégies. Ces stratégies sont les algorithmes définis en termes géométriques.

On évalue ensuite les résultats garantis par les stratégies étudiées d’après les différents critères. Par exemple, dans les jeux de capture rapide, on compare les longueurs des trajectoires du «poursuivant» jusqu’au moment de la capture. Dans les jeux avec la «ligne de la vie», on vérifie si toutes les trajectoires du «fugitif» , correspondantes à sa stratégie étudiée, atteignent cette ligne. Cela constitue un gisement abondant de nouveaux sujets de recherches géométriques.

Ces recherches peuvent être effectuées même sans aucune connaissance des autres domaines des mathématiques sauf la géométrie élémentaire classique.

En effet, notre livre [3] montre bien qu’il suffit de connaître les éléments de la géométrie élémentaire classique pour commencer au collège ou au lycée de vraies recherches mathématiques ce qui doit être intéressant pour tous les enfants doués en mathématiques, leurs parents et enseignants. C’est pourquoi, pour ces enfants et pour tous les amateurs des mathématiques, nous avons formulé les problèmes de la théorie des JIPTO mathématiques :

Problème du «poursuivant». Trouver une stratégie du «poursuivant» qui lui garantit un résultat convenable.

Problème des «fugitifs». Trouver une stratégie des «fugitifs» qui leur garantit un résultat convenable.

Notons que, dans notre classement officiel, nous avons décrit 2480 versions principales du JIPTO.

L’initiation à la géométrie donne l’accès le plus facile à l’acquisition de la culture mathématique. Nous évaluons la culture mathématique chez un individu de la façon suivante :

Niveau initial : on commence à comprendre la notion de mathématisation;

Niveau moyen : on acquiert un savoir mathématique qui peut aller du savoir très élémentaire jusqu’à la connaissance des théories mathématiques complexes ;

Niveau supérieur : on est capable de créer du nouveau savoir mathématique.

Nos critères classent parmi les personnes avec la culture mathématique du niveau supérieur les grands mathématiciens de l’Antiquité.

On peut diviser le niveau moyen en quelques niveaux d’après les critères supplémentaires, par exemple, le critère de l’ingéniosité :

Le niveau moyen ordinaire : on sait résoudre des problèmes mathématiques qui ne réclament pas de l’ingéniosité ;

Le niveau moyen avancé : on est capable facilement de reproduire les démonstrations des théorèmes étudiés et de proposer des solutions ingénieuses à des problèmes déjà résolus par les autres.

On peut subdiviser chacun de ces deux niveaux d’après le critère du savoir mathématique acquis : le niveau moyen avancé de l’école élémentaire (du collège, du lycée, de l’université, ou par classe).

L’étude plus de la géométrie élémentaire permet d’accéder à la culture mathématique du niveau moyen. La modélisation mathématique des versions du JIPTO et l’initiation à la théorie géométrique de la poursuite donne de multiples possibilités d’apprendre à créer du nouveau savoir mathématique et d’accéder ainsi à la culture mathématique du niveau supérieur.

Références

1. G.Tomski, JIPTO : 1001 jeux pour tous, JIPTO international, 2002.
2. G.Tomski, Art du JIPTO, JIPTO international, 2002.
3. G.Tomski, Géométrie élémentaire de la poursuite, JIPTO international, 2004.

Новое расширение классической геометрии

©  Г.В.Томский

.

Для классической геометрии Эвклида базовыми объектами являются отрезки и окружности, потом вводятся и изучаются другие геометрические объекты - фигуры, ограниченые ломаными линиями: треугольники, четырехугольники и многоугольники, а также касающиеся и пересекающиеся круги. Изучением свойств этих фигур математики занималась в течении более 2000 лет. В последние 40 лет развивается геометрии преследования, которая является частью теории дифференциальных игр. В 2005 году я опубликовал во Франции книгу Элементарная геометрия преследования [1], в которой изучаются траектории "преследователей" и "убегающих", являющиеся ломаными линиями или цепочками касающихся между собой кругов, то есть также объектами элементарной геометрии. В данной работе делается обзор материала этой книги и возможностей его использования для стимулирования научного творчества школьников и всех любителей математики, а также для выявления математических талантов.

Исторический обзор

Первые фундаментальные книги по теория дифференциальных игр были опубликованы в 1965-1975 годах. Частью этой теории является математическая теория оптимального преследования. В 1983 году я опубликовал с Леон Петросян книгу Геометрия простого преследования [2] ибо мы поняли, что совокупность геометрических утверждений теории преследования представляет собой интересное и перспективное расширение классической геометрии.

В 1979-91 году, используя только методы элементарной математики, я доказал несколько теорем об оптимальном преследовании и значительно упростил доказательства результатов Петросяна и его учеников об играх с «линией жизни». Был доволен полученной таким образом возможности объяснить некоторые из своих математических результатов способным к математике ученикам старших классов и их учителям.

После 1988 года мог посвятить больше времени геометрии преследования. В 1989 году опубликовал с Л.А. Петросяном Элементарные задачи преследования и убегания [3], в 1991 году Через игры - к творчеству [4].

Мои ученики А.И. Голиков, С.П. Кайгородов, С.В. Местников, В.Г. Софронов также занимались исследованием процессов преследования геометрическими методами. В 1991 году мы выпустили сборник Исследования по геометрии простого преследования [5], содержащий также результаты Н.А. Зенкевича и О.А. Малафеева и других математиков. Серьезные результаты по геометрии преследования были получены В.Д. Ширяевым из Мордовского университета и Б. Рихсиевым из Ташкентского университета. Почти все эти результаты получены с использованием высшей математики, однако наш опыт показывает возможность упрощения доказательств большинства утверждений геометрии преследования до элементарных, но разумеется достаточно длинных.

Популяризация математики не является легким делом и требует новых нетрадиционных подходов. Для этого и для расширения области исследований по геометрии преследования я изобрел в 1988 году игру ЖИПТО - (JIPTO - Jeux Intellectuels de Poursuite de Tomski), используемую теперь во Франции, России и Казахстане для развития интеллектуальных и творческих возможностей учащихся в области искусства, литературы и математики [6-10]. Сегодня существование десятков тысяч любителей ЖИПТО оправдывает математические исследования по теории наиболее интересных версий этой игры.

Элементарные геометрические разделы математики ЖИПТО и другие элементарные задачи преследования образуют основу нового расширения школьной эвклидовой геометрии, которое теперь называется Элементарной геометрией преследования. Основные результаты этой теории собраны в разбираемой нами книге [1].

Содержание элементарной геометрии преследования

Особенностью Элементарной геометрии преследования является изучение различных стратегий преследования и убегания, определяемых в терминах элементарной геометрии. Например, различные стратегии «преследователя» описывают правила построения с помощью линейки и циркуля (идеальных) траекторий в зависимости от реализации траекторий «убегающего» (или «убегающих», если их много, а также других «преследователей», если они существуют). Наиболее используемыми являются: стратегия погонного преследования и стратегия параллельного сближения, описанные в главах 1 и 5 книги [1]. Эти и другие стратегии являются алгоритмами, которые ставят в соответствие траектории.

Таким образом, в Элементарной геометрии преследования рассматриваются траектории, которые являются объектами классической геометрии: ломаные, цепочки касающихся кругов и т.д. Но к преобразованиям и другим отношениям изучаемым в классической геометрии (вращение, подобие и т.д.) добавляется бесконечное число преобразований и отношений, порожденных различными стратегиями. Эти стратегии являются алгоритмами, определенными в геометрических терминах.

Далее оцениваются результаты, гарантированные изучаемыми стратегиями в соответствии с различными критериями. Например, в играх на быстродействие сравниваются длины траекторий «преследователя» до момента поимки. В играх с «линией жизни» проверяется достигают ли эту линию все траектории «убегающего», соответствуюшие изучаемой стратегии. Совокупность таких проблем образует богатый источник для математических исследований.

Значительная часть таких исследований может проводиться на основе результатов классической элементарной геометрии без использования других областей математики. Действительно, новые результаты, изложенные книге [1], базируются только на части классической планиметрии. Используются неравенство треугольника, теорема Пифагора, теорема косинусов, теорема Фалеса, многие свойства кругов и т.д. Эти результаты (примерно 50 предложений из книги Эвклида), проверенные в течении веков, дают прочный фундамент Элементарной геометрии преследования.

Мы предлагаем сотрудничество и помощь всем педагогам, способным разработать и использовать в своей работе материалы по данному разделу математики. Перечислим некоторые теоремы из книги [1]:

- Теорема Томского о рекурсивной стратегии погонного преследования (доказана в 1978 году).

- Теорема Томского о Е-стратегии погонного преследования (1988).

- Теорема Петросяна о параллельном сближении и кругах Аполлония (доказанное Л.А.Петросяном с использованием элементов высшей математики в1962 году, доказательство с использованием методов элементарной геометрии предложено Г.В. Томским в 1982 году).

- Теоремы Петросяна об играх с линией жизни (1962-1968).

- Теоремы Томского о зонах захвата и убегания (1971).

- Теорема Кайгородова (1988).

- Теорема Голикова-Томского о базовой версии ЖИПТО (сформулированное А.И. Голиковым в 1991 году и доказанная Г.В.Томским в 2004 году).

Все эти теоремы могли быть доказаны способными к математике школьниками старших классов или творчески настроенными учителями математики.

Математические модели ЖИПТО

Начнем с того, что в ЖИПТО можно играть, рисуя с помощью трафарета, траектории «преследователя» и «убегающих» в виде последовательности касающихся между собой кругов. Такая форма игры достаточно удобна и может практиковаться, если нет наборов для игры. Заменяя нарисованные на бумаге круги геометрическими кругами на плоскости, получаем геометрическую модель ЖИПТО.

Правила 2500 различных версий ЖИПТО на одном и том же поле сформулированы нами на обычном языке, но очень близком к геометрическому языку, что значительно облегчает их математическое моделирование. Это моделирование, использующее язык школьной математики, доступно всем и представляет хорошее и полезное упражнение для приобщения к математическому языку.

После математического моделирования версии ЖИПТО, можно описать различные стратегии "убегающих" и "преследователя", пытаться затем оценить результаты, гарантируемые этими стратегиями. В большинстве случаев удобнее описывать стратегии в геометрических терминах.

Геометрические и аналитические определения различных стратегий являются превосходными упражнениями в описании в математических терминах способов действий, которых невозможно точно описать другим способом. Надо начинать с описания стратегий преследования и убегания для одного и двух "убегающих", затем для трёх и четырёх и наконец для пяти "убегающих". Можно, например, построить большое количество стратегий "убегающих" на базе нескольких простых стратегий: движения к цели, различных маневров обхода, убегания и т. д.

Такие упражнения в формализации стратегий полезны, например, для создания программ компьютерных ЖИПТО даже без оценки результатов, гарантированных описанными стратегиями, так как эти оценки для всех достаточно сложных стратегий будут очень трудны.

Моделирование стратегий представляет собой начало приобщения к языку математической теории игр. Понятие оптимальных стратегий не вызывает трудностей для игр, в которых интересы игроков противоположны как в случае базовых версий ЖИПТО. Такая ясность исчезает для игр, где интересы игроков не противопоставлены.

Каждая версия ЖИПТО заслуживает математического исследования, которая может быть провелена по следующему плану: В первой части описываются геометрическая и аналитическая модели рассматриваемой версии ЖИПТО, математически описываются цели игроков и обсуждаются используемые понятия оптимальности. Во второй главе исследуется случай, когда в конце игры остается один "убегающий". В третьей главе исследуется случай двух убегающих, в четвертой - трех, в пятой - четырех, в шестой - пяти убегающих. Речь идет о построении стратегий, гарантирующих достаточно хорошие результаты игрокам, хотя бы в частных случаях (например, при фиксированном порядке поимки или при каких-то других ограничениях на движения и стратегии).

Таким образом, мы видим, что Элементарная геометрия преследования является неисчерпаемым источником тем для исследований для любителей математики, способных учащихся и их учителей. Для меня будет большим удовольствием, если благодаря этим темам скоро найдется новый блестяший математический гений в какой-нибуль корейской деревне или маленьком городе, который может быть придумает потом прикладную математическую теорию, полезную для прогресса человечества.

Уровни математической культуры

Изучение геометрии преследования позволяет приобщиться к методу математического моделирования, понять ее возможности и пределы, что важно и актуально в настоящее время, когда благодаря бурному развитию математики и информатики человечество вступило в «эпоху моделирования». В эту эпоху важно поднять математическую культуру членов общества, которую мы делим на следующие основные уровни:

Начальный уровень: приобщение к элементарным математическим объектам и понятиям.

Средний уровень: Освоение одного из разделов математики, начиная от элементарной геометрии, кончая современными математическими теориями.

Высший уровень: Способность к созданию нового математического знания.

Таким образом, можно говорить о существовании математической культуры у индивидуума только с момента начала понимания сущности элементарных математических объектов. Если ребенку дается легко переход от конкретных объектов к идеальным, то можно начинать надеяться на существование у него математических способностей. Быстрота усвоения математических знаний является необходимым, но не достаточным условием одаренности в области математики. Даже победители математических олимпиад не всегда удовлетворяют критериям творческой одаренности в области математики и часто не способны стать профессиональными математиками. Дело в том, что математическая олимпиада является конкурсом решения задач повышенной трудности, которые при условии удачного определения метода решаются в принципе в течении не более чем одного часа. Настоящие математические проблемы требуют для своего решения многих месяцев, иногда многих годов непрерывных рассуждений. Поэтому победы в олимпиадах не являются свидетельством пригодности к профессиональной научной работе в области математики. Заметим, что наши критерии позволяют считать Эвклида, Архимеда и других великих математиков древности носителями высокой математической культуры, тогда как нетворческие, но способные к учебе личности, выучившие университетскую программу высшей математики, обладают математической культурой только среднего уровня

Популяризация ЖИПТО и Элементарной геометрии преследования в школах призвана способствовать поднятию математической культуры учителей и учащихся. Появляется возможность перейти от использования косвенных критериев математической одаренности к тестированию способных учеников на настояших нерешенных математических проблемах и их раннего приобщения (примерно с 15 лет) к настоящей исследовательской деятельности.

Таким образом, Элементарная геометрия преследования представляет собой новое перспективное расширение классической геометрии, интересное для целей популяризации математики и для математического образования.

Международная академия КОНКОРД (Academie Internationale CONCORDE, [11]), Международная федерация по развивающему обучению и игровой педагогике ФИДЖИП (FIDJIP) и Европейская ассоциация по одаренным детям ЕВРОТАЛАНТ (EUROTALENT) [12] организуют во Франции, России и Казахстане конференции, семинары и стажировки по Элементарной геометрии преследования, по Педагогике и Искусству ЖИПТО [13-15].

Литература

1. G.Tomski. Géométrie élèmentaire de la Poursuite. Editions du JIPTO, 2005, 244 p.

2. Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука, 1983, 143 c.

3. Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Элементарные задачи сближения и уклонения. Якутский университет, 1989, 80 c.

4. Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Через игры к творчеству. Новосибирск: Наука, 1991, 125 c.

5. Исследования по геометрии простого преследования, Якутский университет, 1991, 105 с.

6. G.Tomski. JIPTO : 1001 jeux pour tous. Editions du JIPTO, 2005, 60 p.

7. G.Tomski. JIPTO et le Système JIP. Editions du JIPTO, 2005, 214 p.

8. G.Tomski. JIPTO : de la Maternelle à l'Université. Editions du JIPTO, 2007, 207 p.

9. G.Tomski, Art du JIPTO : 2007 - 2008. - Editions du JIPTO, 2008, 276 p.

10. G.Tomski, A.Akhaev, N.Tikhtilova, Projet JIPTO au Kazakhstan : Année 2010, Editions du JIPTO, 2010, 118 p.

11. Académie Internationale CONCORDE, Editions du JIPTO, 2007, 92 p.

12. EUROTALENT et FIDJIP : Activités et projets pour les enfants surdoués, Editions du JIPTO, 2007.

13. http://academie-concorde.blogspot.com/

14. http://fidjip.blogspot.com/

15. http://fidjip-centres.blogspot.com/